济南生活网 博客 sin60如何手算任意角度正弦值?

sin60如何手算任意角度正弦值?

在高中,我们学过正弦函数,也知道一些特殊角度的正弦数值,如sin90°=1,sin60°= 

最近,我在图书馆看到一本国外的科普书《天啊,几何还能这样学》,里面就聊到如何快速手算任意角度的正弦值,方法很新颖,也很有效果,如下图所示。

这种方法的原理是,当角度很小时,该角度所对的圆弧与半径的比值与正弦值非常接近,误差很小。这时,计算正弦值就转换为计算圆弧与半径的比值。

如下图所示,点A为圆心,AB、AD为圆的半径,BD是角A所对应的圆弧,BC垂直AD于C。当角A很小时,圆弧BD与线段BC的长度就非常接近。

假设AB=R,于是sinA°=BC/AB 

又因为BD=2

接下来,我们就能够求出任意角度的正弦值:

一、求sin1°~sin15°。

因为sinA°

1、sin1°=1* 

(查正弦表可知,sin1°=0.01745……,这时两者小数点5位以内数值都是一致的)

2、sin2°=2* 

(查正弦表可知,sin2°=0.03489……,这时两者小数点3位以内数值都是一致的)

3、sin10°=10* 

(查正弦表可知,sin10°=0.17364……,这时两者小数点2位以内数值都是一致的)

3、sin15°=15* 

(查正弦表可知,sin15°=0.25881……,这时两者小数点1位以内数值都是一致的,这时误差为(0.26180-0.25881)/0.25881=1.15%,这个误差还是相对比较小的,属于可接受范围。)

二、求sin15°~sin30°。

1、sin30°=30* 

(我们知道sin30°=0.5,这时依据上述方法算出来的误差为(0.52360-0.5)/0.5=4.72%,这个误差已经很大了,是无法接受的。)

2、这时为了降低误差,我们需要利用勾股定理求出15度角的正弦值(sin15°)。

已知AB=AD,AC垂直于BD,角BAC=角DAC=15°,角BAE=30°,BE垂直于AD,于是BC=CD。

因为角BAE=30°,所以BE= 

在三角形BED中, 

可计算得出: 

于是sin15°=BC/AB= 

又sin30°=0.5,所以(sin30°-sin15°)/15=0.01608=0.016(取3位小数)

15°~30°,我们认为角度在增加,正弦值也随之成比例增加,即角度每增加1°,正弦值随之增加0.016。

3、于是:

sin15°=0.259

sin16°=0.259+0.016=0.275

……

sin20°=0.259+0.016*5=0.339

(查正弦表可知,sin20°=0.342……,误差很小)

……

sin25°=0.259+0.016*10=0.419

(查正弦表可知,sin25°=0.422……,误差很小)

……

三、求sin30°~sin45°。

1、sin30°=0.5,sin45°= 

2、(sin45°-sin30°)/15=0.01608=0.0138=0.014。(取3位小数)

3、30°~45°,我们认为角度在增加,正弦值也随之成比例增加,即角度每增加1°,正弦值随之增加0.014。

4、于是:

sin30°=0.5

sin31°=0.5+0.014=0.514

……

sin35°=0.5+0.014*5=0.570

(查正弦表可知,sin35°=0.5735……,误差很小)

……

sin40°=0.5+0.014*10=0.640

(查正弦表可知,sin40°=0.6427……,误差很小)

……

sin44°=0.5+0.014*14=0.696

(查正弦表可知,sin44°=0.69465……,误差很小)

四、求sin45°~sin90°。

1、如下图,在直角三角形ABC中,角C是直角,角A+角B=90°。

2、于是 :

3、可得 

4、于是 

5、于是:sin46°= 

(查正弦表可知,sin46°=0.71933……,误差很小)

……

sin50°= 

(查正弦表可知,sin50°=0.76604……,误差很小)

……

sin65°= 

(查正弦表可知,sin65°=0.90630……,误差很小)

……

sin75°= 

(查正弦表可知,sin75°=0.96592……,误差很小)

……

sin80°= 

(查正弦表可知,sin80°=0.98480……,误差很小)

……

好了,这种方法就介绍到这里了。

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作者: admin

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